超難數學問題...期望值?機率?

買77元可抽一個HELLO KITTY的磁鐵

磁鐵共有３１種款式

抽中每一種款式的機率相等（＝１／３１）

則平均要花多少錢才可集滿３１款不同的HELLO KITTY的磁鐵？
令Xi表示得到i個hello ketty 所使用的次數

i=1

...31得到第1個所需次數X1 之分配為 B(N

P)其中N＝1

P＝31/31＝1（因為任抽一個皆為31個中第1個）

所以E（X1）＝NP＝1*1＝1得到第2個所需次數為X2之分配為GEO(P) 幾何分配（直到第一次成功目標才停止）X2～GEO(P=30/31) {除了拿到與X1不同以外才停止} E(X2)＝1/P=1/(30/31)=31/30同理X3~GEO(P=29/31){除了拿到與X1

X2不同以外才停止}E(X3)=1/(29/31)=31/29同理可得出E(X4)=31/28

E(X5)=31/27......E(X31)=31/(31-31 1)=31令Y為獲得31各個不同hello kitty的次數

Y＝ΣXi 其中i=1

...31

Xi不彼此獨立*********************************************************************由期望值特性得知即使隨機變數彼此不獨立

其總和的期望值=各期望值的總和（詳見機率論）X1

X2 are random varialblew with Joint PDF f(X1

X2) E(X1 X2)=E(X1) E(X2)*********************************************************************E(Y)=E(ΣXi)=(1 31/30 31/29 .....31)期望所需花的金錢＝平均期望次數*每次花費=E(Y)*77即為所求P.S. E（Y）有點困難

你就將就點吧！

我大學畢業已經快10年了！

參考資料 個人
人數夠多

每個機率又相等

要收集31個

應要31*77=2387元
磁鐵的３１種款式編號為1～31先討論集到1號所花的費用根據二項分配(Binomial Distribution)可知集到1號平均要買足31個HELLO KITTY磁鐵也就是花  31*77＝2387  元同理

收集2號、3號、...、31號也各要花掉2387元所以將1～31號全部收集齊須2387 2387 2387 ... 2387（共31個2387）＝73997元
嗯...大概算了一下...還真的頗難的...提供自己的想法...假如總共31次就買齊...機率為31/31*30/31*29/31*....*2/31*1/31=0.000000000000481736174884843000 如果32次才買齊...則有一個重複...剩下的31個排法的的機率同前

為0.000000000000481736174884843000 為求計算方便...令其為A而那一個重複的...不能跟最後一個相同...因為如果相同...則會再最後一個尚未出現時...就已經達到31個...簡單來說..以xyz三個為例...即假定排列順序為xyz...則如果買到第四個才完整...這個重複的第四個不可能為z因為如果為z...不管在哪裡出現...都會在尚未買到四個就已經完全買到...故回到原題目...重複的那一個選擇只有30個...又...這個重複的...他所能選擇的位置...再次以xyz說明...假如重複的是x...令其為x1與原x作區分...則有下列情況 x1 x y z 第一種情況 x x1 y z 第二種情況 x y x1 z 第三種情況 x y z x1 第四種情況而第一種情況與第二種情況所產生的結果都是xxyz的情形...故算一種...而第四種情況...再買到第三個的時候...就已經完整...故不予計算...所以總情況共有2種...即3-1種...而回到原題目...重複的那一個...共有31-1種位置可以選擇...而買32個...比買31個多了一個...必須考量他的排列...所以還得除以32...因為32個的排列比31個需再分母多乘於32...故32次買到的機率為A*30*30/32=0.000000000013548829918636200000 第一個30是重複那一個的種類...第二個30是重複那一個可選擇的位置...32是指排列的可能...如果買到33個才買到完整的31種...則多的兩個...可選擇的依然是30種...原因同上...但因為有兩個...所以是30*30...至於可以選擇位置...同樣用xyz來討論...假如兩個都選到一樣的x...用x1與x2來表示...先放x1...剛剛討論過..情況只有兩種...即 x1 x y z (與x x1 y z 情況相同)與 x y x1 z先就第一種看...則x2有下列放法... x2 x1 x y z 第一種 x1 x2 x y z 第二種 x1 x x2 y z 第三種 x1 x y x2 z 第四種其中第一種.第二種.第三種所展現的都是xxxyz的情況...故算一種...故共有兩種...而第二種情況...則x2有下列放法... x2 x y x1 z 第一種 x x2 y x1 z 第二種 x y x2 x1 z 第三種 x y x1 x2 z 第四種其中第一種跟第二種一樣...都是xxyxz...第三種跟第四種一樣...都是xyxxz...故也是兩種...如果兩個重複的不一樣...即一個x一個y的話...用x1與y1作區分...而先放x1與先放y1的情況會一樣....故誰先放沒有差別...為討論方便...先放x1...先放x1...剛剛討論過..情況只有兩種...即 x1 x y z (與x x1 y z 情況相同)與 x y x1 z再放y1...則有下列情形... y1 x1 x y z 第一種 x1 y1 x y z 第二種 x1 x y1 y z 第三種 x1 x y y1 z 第四種其中...第三種與第四種情況一樣...都為xxyyz...故情況為三種...(4-1)種第二種放y1的情況則是... y1 x y x1 z 第一種 x y1 y x1 z 第二種 x y y1 x1 z 第三種 x y x1 y1 z 第四種其中...第二種跟第三種一樣...都為xyyxz故共有三種...(4-1)種故買33個買到的機率為A*30^2*(1/30*30^2 29/30*30*29)/32/33=0.000000000363354984181607000000 其中30^2代表選兩個...1/30代表兩個一樣...故組合也是30*30...29/30代表重複兩個不一樣...故組合為30*29.../32/33則是排列變多...接著34次的機率為0.000000010714854251715500000000 35次的機率為0.000000256534640764412000000000 36次的機率為0.000006301413011936520000000000 37次的機率為0.000144152993686348000000000000 38次的機率為0.003391171045335300000000000000 39次的機率為0.074057586576018100000000000000 超過40次的機率為0.922400520327003000000000000000 故期望值即把機率乘以所花非費用...約等於3073.739981385550000000000000000000 由於後面部分很難用文字解釋...故僅列機率...另外...我後來發現...7-11的遊戲規則...好像不是用抽的...所以...基本上應該是2387元就可以收集到了...他好像是每滿77元的單筆消費...會給兌換卷一張...
2387應該是最少的花費... 這兩天比較忙...改天再算算看... 頗有趣的...
2387是最少的花費

所以直觀上覺得： 期望值不會是2387元 這樣想好了： 期望值也就是平均值的概念

若2387是期望值的話

那就表示說：平均每個人只要花2387元

就能收集滿31個kitty(買31次就中31個…太強啦…)(假設每一次都剛好花77元) 若不是每個人都剛好買31次就中31個

那就是代表一定有人買的次數比31次少

就中了31個kitty…(這種事不可能發生) 所以「蘭」說的有問題…
先分別討論恰花31次、32次、33次、34次…就搜集完所有的31個不同的kitty
平均每個人買31次就集完了
31*31*77=73997(圓).......
這個問題沒有你們想的那麼簡單 而是超乎你想像的不容易抽中 我們先將問題簡化 將31種類型的改成3種 則情況會怎樣 第一次抽 不用說 至少有一種類型 第二次抽 有2/3的機率抽中不同的類型 第三次抽 有1/3的機率抽中不同的類型 因此 連續三次 只有 1* 2/3 * 1/3 = 2/9 的機率抽中不同的類型 這只是一輪而已 2/9 *5 ~ 1 所以 這要抽五輪 共抽15次才有可能讓你抽到不同的類型
現在將情況回歸 抽中的機率為 1 * 30/31 * 29/31 * 28/31 * ... * 1/31 ~ 4.817 * 10 的-13次方 這你有可能中嗎? 至於要花多少錢? 你也算的出來吧! 會把你嚇壞的!!!
7-11又大賺了
如果有修過統計學

聽過幾何分配應該就比較容易瞭解了！

我一直是很抱歉 我一直想修正我的說明並不完全正確 只是找不到你提出的這一標題欄 現在找到了 我簡單說明

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